Professor Ezequias.

| Problemas Resolvidos
(ENEM) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33000 passagens; em fevereiro, 34500; em março, 36000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
(A) 38000
(B) 40500
(C) 41000
(D) 42000
(E) 48000

Solução: A sequência (33000, 34500, 36000, ...) é uma progressão aritmética (PA). Observe que cada termo, a partir do segundo, é a soma do termo anterior com 1500.
Nesse caso, essa constante 1500 chama-se razão da Progressão Aritmética.
O nosso primeiro termo é a1=33000. O segundo termo é a2=34500. O mês de julho é o sétimo mês, portanto a questão pede o sétimo termo a7.
Na PA, para calcular um termo qualquer (an) é preciso somar ao primeiro termo, (n-1) vezes a razão r, ou seja, an = a1 + (n-1)r.
Assim, a7 = a1 + 6r = 33000 + 6×1500 = 33000 + 9000 = 42000.
Portanto a alternativa correta é a letra (D).

Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de fósforos como mostra o desenho a seguir.

Palitos em PA.

a) Quantos palitos são necessários para fazer 100 quadrados?
b) Quantos quadrados ela fez com 250 palitos?


Solução: a) Para fazer um quadrado é necessário 4 palitos. Para fazer dois quadrados é necessário 7 palitos. Para fazer três quadrados é necessário 10 palitos , e assim por diante.
Então, temos uma progressão aritmética:
PA (4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ... ), onde o primeiro termo a1 = 4, a razão (ou diferença) r = 3 .
Assim, temos que encontrar o centésimo termo somando 99 razões ao primeiro termo, ou seja,
a100 = a1 + 99r = 4 + 99×3 = 4 + 297 = 301 .

b) O enésimo termo an = a1 + (n-1)r é o número de palitos e o número de termos n é o número de quadrados .
Assim, 250 = a1 + (n-1)r.
Segue que 250 = 4 + (n - 1)×3.
O que implica em, 250 = 4 + 3n - 3.
Daí, vem que:: n = (250 - 1) / 3.
Logo: n = 249 / 3 = 83 quadrados.



(CORREIOS) O enésimo termo da P.A. ( -4 , -1 , 2, ... ) é:
(A) an = 2n - 5
(B) an= 3n - 7
(C) an = 5n + 4
(D) an = 6n + 2
Solução: O primeiro termo da progressão aritmética é a1 = -4 e a razão é  r = -1 - (-4) = -1 + 4 = 3.

an=a1+(n-1)r

O enésimo termo (termo geral) é an = -4 + (n-1)×3 = -4 + 3n - 3 = -7 + 3n = 3n - 7 (opção B).


(UFFS) Quantos múltiplos de 5 existem entre 49 e 2049?
(A) 400.
(B) 399.
(C) 350.
(D) 300.
(E) 299.

Solução: Entre 49 e 2049, o menor múltiplo de 5 é o 50, e o maior é 2045.

A sequência (50, 55, 60, ... , 2045) é uma PA de razão r=5 , onde a1=50, an=2045, e o número de termos n é o valor procurado.

Segue que, 2045 = 50 + (n-1)×5

1995 = (n-1)×5

n-1 = 1995/5

n = 1995/5 + 1 = 399 + 1 = 400. (alternativa A).



Quando o grande matemático Carl F. Gauss (1777 - 1855) tinha cerca de 10 anos, sua turma de escola tinha um professor que gostava de passar problemas de Matemática trabalhosos quando esta fazia bagunça. Uma vez, pediu aos alunos que calculassem a soma dos inteiros de 1 até 100. O professor, ficou bastante surpreso quando, em pouquíssimos minutos, Gauss entregou logo o resultado: 101×50 = 5050. Como ele chegou ao resultado de forma tão rápida?
Solução: Gauss percebeu que na soma 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 , existe a seguinte propriedade: o resultado da soma do primeiro com o último número da série, 1 e 100, é 101; o resultado da soma do segundo com penúltimo, 2 e 99, é também 101; o resultado do terceiro com antepenúltimo, 3 e 98, também é 101; e assim por diante.
Como os números de 1 a 100 formam 50 duplas, Gauss multiplicou 101 por 50 e chegou logo ao resultado 5050.

Na verdade, o que Gauss descobriu foi que a soma dos n termos de uma Progressão Aritmética é sempre igual a n vezes a média aritmética de dois valores equidistantes dos extremos da progressão, isto é, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an =

(a1+an)n/2.

Assim, 1 + 2 + 3 + ... + 100 = (1 + 100)×100 / 2 = 101×50 = 5050.


(UFRJ - adaptado) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de US$ 300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de US$ 300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: US$ 1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, US$ 2,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de US$ 300,00.
Solução: No primeiro dia. Riquinho receberá US$ 1,00. No segundo US$ 3,00. No terceiro US$ 5,00, e assim por diante.
Portanto, temos a PA (1 , 3 , 5 , ... ), onde a1=1 e r=2.
Logo, no trigésimo dia, Riquinho receberá US$ 59,00. De fato: a30 = a1 + 29r = 1 + 29×2 = 1 + 58 = 59.
Assim, a soma S é 30 vezes a média aritmética entre a1 e a30, ou seja,  
S = (a1 + an) n / 2 , onde n = 30.
Segue que, S = (1 + 59) × 30 / 2 = 60 × 30/2 = 900.
Como, 900 - 300 = 600, segue que, Riquinho receberá US$ 600,00 a mais.
(PUC) Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:
(A) 20
(B) 21
(C) 22
(D) 23
(E) 24

Solução: Temos que n = 20 e a1 = 5.

A soma S = (5+a20)×20/2 = 480

(5+a20)×10 = 480

5+a20 = 48

a20 = 43

Como a20 = a1 + 19r = 5 + 19r = 43.

Segue que 19r = 48

r = 2.

Então a10 = a1 + 9r = 5 + 9×2 = 5 + 18 = 23 (opção D).



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